Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面 ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4

2

，點E，點F分別是PC，AP的中點．
（1）求證：側(cè)面 PAC⊥側(cè)面PBC；
（2）求點P到平面BEF的距離；
（3）求異面直線AE與 BF所成的角的余弦．

Answer 1

分析：（1）以BP所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標系，分別求出側(cè)面 PAC的一個法向量和側(cè)面PBC一個法向量，代入向量夾角公式，判斷兩個向量的數(shù)量積為0，即可得到側(cè)面 PAC⊥側(cè)面PBC；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，我們可得EF⊥平面PBC，即EF⊥PC，由面面垂直的性質(zhì)可得PC⊥平面BEF，故PE長即為P點到平面PEF的距離．
（3）求異面直線AE與 BF的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出求異面直線AE與 BF所成的角的余弦．

解答：解：（1）以BP所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標系，由條件可設(shè)P（0，0，4

2

），B（0，0，0），C（0，-4

2

，0），A（4

2

，-4

2

，0）；
則E（0，-2

2

，2

2

），F(xiàn)（2

2

，-2

2

，2

2

），（2分）
平面PBC的法向量

a

=（1，0，0），而

PE

=(0，-2

2

，-2

2

)，
因為

a

•

PE

=0，所以側(cè)面PAC⊥側(cè)面PBC；（2分）
（2）證明：在等腰直角三角形PBC中，BE⊥PC，又中位線EF∥AC，而由（1）AC⊥平面PBC，則EF⊥平面PBC，
∴EF⊥PC，（2分）
所以PC⊥平面BEF，那么線段PE=

1

2

PC=4即為點P到平面BEF的距離．（2分）
（3）由（1）所建坐標系，得

AE

=（-4

2

，2

2

，2

2

），

BF

=（2

2

，-2

2

，2

2

），
∴

AE

•

BF

=-16，又|

AE

|•|

BF

|=24

2

，（2分）
cos＜

AE

，

BF

＞=-

2

3

，∴AE與 BF所成的角的余弦值是

2

3

．（2分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，點、線、面間的距離計算，其中（1）（3）的關(guān)鍵是利用空間坐標系，將線線夾角及面面夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，（2）的關(guān)鍵是求了點P到平面BEF距離對應(yīng)的線段的長．