Question

如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，把菱形ABCD沿對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C，AC=BD，空間中的點(diǎn)P滿足PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）

A．二面角A-BD-C的余弦值為
B．PC∥平面ABD
C．PB與CD所成角為45°
D．PB⊥BD

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知可判斷出四棱錐A-BCD為正四面體，將四棱錐A-BCD補(bǔ)成一個(gè)正方體，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法，逐一判斷四個(gè)答案的真假，可得答案．
解答：解：∵菱形ABCD中，∠A=60°，把菱形ABCD沿對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C，AC=BD，
可得四棱錐A-BCD為正四面體
將四棱錐A-BCD補(bǔ)成一個(gè)正方體，如下圖所示：
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，易得向量=（1，-1，1）為平面ABD的一個(gè)法向量；=（-1，1，1）為平面BCD的一個(gè)法向量
設(shè)二面角A-BD-C的平面角為θ，則cosθ==，故A正確；
=（1，0，0），∵•=1≠0，故PC的方向與平面ABD的法向量不垂直，故PC∥平面ABD不成立，故B不正確；
=（0，0，-1），=（0，1，-1），∵cos＜，＞=，故PB與CD所成角為45°，故C正確；
∵=（1，1，0），故•=0，故PB⊥BD，故D正確；
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，二面角的平面角及求法，空間線面關(guān)系的判定，構(gòu)造空間坐標(biāo)系，將線面夾角問(wèn)題，二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．