已知☉O:x2+y2=1和定點(diǎn)A(2,1),由☉O外一點(diǎn)P(a,b)向☉O引切線PQ,切點(diǎn)為Q,且滿足|PQ|=|PA|.

(1)求實(shí)數(shù)a,b間滿足的等量關(guān)系.

(2)求線段PQ長(zhǎng)的最小值.

(3)若以P為圓心所作的☉P與☉O有公共點(diǎn),試求半徑取最小值時(shí)☉P的方程.

 

(1) 2a+b-3= (2) (3) (x-)2+(y-)2=(-1)2

【解析】(1)連接OP,

∵Q為切點(diǎn),

∴PQ⊥OQ,

由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.

又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|2=|PA|2.

即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2.

化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a,b間滿足的等量關(guān)系為:2a+b-3=0.

(2)方法一:由2a+b-3=0,得b=-2a+3.

|PQ|==

==.

故當(dāng)a=時(shí),|PQ|min=.即線段PQ長(zhǎng)的最小值為.

方法二:由(1)知,點(diǎn)P在直線l:2x+y-3=0上.

∴|PQ|min=|PA|min,即求點(diǎn)A到直線l的距離.

∴|PQ|min==.

(3)設(shè)☉P的半徑為R,

∵☉P與☉O有公共點(diǎn),☉O的半徑為1,

∴|R-1|≤|OP|≤R+1.

即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1.

而|OP|==

=,

故當(dāng)a=時(shí),|OP|min=.

此時(shí),b=-2a+3=,Rmin=-1.

得半徑取最小值時(shí)☉P的方程為(x-)2+(y-)2=(-1)2.

 

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如圖,橢圓C:+=1的焦點(diǎn)在x軸上,左右頂點(diǎn)分別為A1,A,上頂點(diǎn)為B,拋物線C1,C2分別以A,B為焦點(diǎn),其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O,C1與C2相交于直線y=x上一點(diǎn)P.

(1)求橢圓C及拋物線C1,C2的方程.

(2)若動(dòng)直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M,N,已知點(diǎn)Q(-,0),求·的最小值.

 

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如圖,

在平面直角坐標(biāo)系中,方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD互相垂直,且AC和BD分別在x軸和y軸上.

(1)求證:F<0.

(2)若四邊形ABCD的面積為8,對(duì)角線AC的長(zhǎng)為2,且·=0,求D2+E2-4F的值.

(3)設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點(diǎn)為G,OH⊥AB且垂足為H.試用平面解析幾何的研究方法判斷點(diǎn)O,G,H是否共線,并說(shuō)明理由.

 

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給定橢圓C:+=1(a>b>0),稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(,0),其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為.

(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”的方程.

(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線l1,l2使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),且l1,l2分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M,N.

①當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求l1,l2的方程;

②求證:|MN|為定值.

 

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(A)+2 (B)+1 (C)-2 (D)-1

 

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(B)-2-≤a≤-2+

(C)-≤a≤

(D)-<a<

 

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(C)x2+y2=2(x≠±2) (D)x2+y2=4(x≠±2)

 

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(A) (B) (C) (D)

 

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