Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=-9，a₂為整數(shù)，且對任意n∈N^*都有S_n≥S₅．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${b_1}=\frac{4}{3}$，${b_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n為奇數(shù)\\-{b_n}+{（-2）^n}，n為偶數(shù)\;\end{array}\right.$（n∈N^*），求{b_n}的前n項和T_n；
（3）在（2）的條件下，若數(shù)列{c_n}滿足${c_n}={b_{2n}}+{b_{2n+1}}+λ{(lán)（-1）^n}{（\frac{1}{2}）^{{a_n}+5}}\;（n∈{N^*}）$．是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件S_n≥S₅可知{a_n}前5項為負(fù)數(shù)或0，第6項后為整數(shù)，列出不等式得出d，即可得出通項公式；
（2）n為偶數(shù)時，${b_n}+{b_{n+1}}={（-2）^n}={2^n}$．利用此性質(zhì)再根據(jù)n的奇偶性計算T_n；
（3）令c_n+1-c_n＞0，分離參數(shù)得出λ關(guān)于n的不等式，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得出λ的最值即可得出λ的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a_5}≤0\\{a_6}≥0\end{array}\right.$，∴$\frac{9}{5}≤d≤\frac{9}{4}$，
∵a₂∈Z，即-9+d是整數(shù)，∴d=2﹒∴a_n=-9+2（n-1）=2n-11．
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，${b_n}+{b_{n+1}}={（-2）^n}={2^n}$．
①當(dāng)n為奇數(shù)時（n≥3），T_n=b₁+（b₂+b₃）+（b₄+b₅）+…+（b_n-1+b_n）=${b_1}+{2^2}+{2^4}+…+{2^{n-1}}$=$\frac{4}{3}+\frac{{4（1-{4^{\frac{n-1}{2}}}）}}{1-4}=\frac{{{2^{n+1}}}}{3}$．
當(dāng)n=1時也符合上式．
②當(dāng)n為偶數(shù)時，${T_n}={T_{n-1}}+{b_n}=\frac{2^n}{3}+{a_{n-1}}=\frac{2^n}{3}+2n-13$﹒
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{{2^{n+1}}}}{3}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n為奇數(shù)\\ \frac{2^n}{3}+2n-13，\;n為偶數(shù).\end{array}\right.$﹒
（3）${c_n}={4^n}+λ{(lán)（-1）^n}{（\frac{1}{4}）^{n-3}}$，
假設(shè){c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
則${c_{n+1}}-{c_n}=3•{4^n}-80λ{(lán)（-\frac{1}{4}）^n}＞0$對任意n∈N^*都成立，
當(dāng)n為奇數(shù)時，$λ＞-\frac{3}{80}•{4^{2n}}$，
令f（n）=-$\frac{3}{80}$•4²ⁿ，則f（n）單調(diào)遞減，∴f（n）≤f（1）=-$\frac{3}{5}$，
∴$λ＞-\frac{3}{5}$﹒
當(dāng)n為偶數(shù)時，$λ＜\frac{3}{80}•{4^{2n}}$，
令g（n）=$\frac{3}{80}$•4²ⁿ，則g（n）單調(diào)遞增，∴g（n）≥g（2）=$\frac{48}{5}$，
∴λ＜$\frac{48}{5}$．
綜上：$λ∈（-\frac{3}{5}，\;\frac{48}{5}）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的求和，數(shù)列單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．