Question

10．如圖，△ABC為邊長為2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．
（1）求證：平面BDE⊥平面BCD；
（2）求三棱錐D-BCE的高．

Answer 1

分析 （1）取BD邊的中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)為G，連接AG，F(xiàn)G，EF，證明AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，即可證明平面BDE⊥平面BCD；
（2）利用等體積方法，即可求三棱錐D-BCE的高．

解答 （1）證明：取BD邊的中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)為G，連接AG，F(xiàn)G，EF，
由題意可知，F(xiàn)G是△BCD的中位線
所以FG∥AE且FG=AE，即四邊形AEFG為平行四邊形，
所以AG∥EF
由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF?面BDE，
故平面BDE⊥平面BCD；
（2）解：過B做BK⊥AC，垂足為K，因?yàn)锳E⊥平面ABC，
所以BK⊥平面ACDE，且$BK=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$
所以V_{四棱錐B-ACDE}=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）$×$2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$V_{三棱錐E-ABC}=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×$$\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
所以V_{三棱錐D-BCE}=V_{四棱錐B-ACDE}-V_{三棱錐E-ABC}=$\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
因?yàn)锳B=AC=2，AE=1，所以$BE=CE=\sqrt{5}$，又BC=2
所以${S_{△ECB}}=\frac{1}{2}×2×$$\sqrt{5-1}=2$
設(shè)所求的高為h，則由等體積法得$\frac{1}{3}×2×h$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
所以$h=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的證明和求三棱錐的高，解題時要認(rèn)真審題，注意把空間幾何問題等價轉(zhuǎn)化為平面幾何問題．