【題目】如圖,橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率,直線的方程為.
求橢圓的方程;
是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)),設(shè)直線與直線相交于點(diǎn),記, , 的斜率為, , .問:是否存在常數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)存在常數(shù)符合題意.
【解析】試題分析:(1)由題意將點(diǎn)P (1, )代入橢圓的方程,得到,再由離心率為e=,將a,b用c表示出來代入方程,解得c,從而解得a,b,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)方法一:可先設(shè)出直線AB的方程為y=k(x﹣1),代入橢圓的方程并整理成關(guān)于x的一元二次方程,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=, ,再求點(diǎn)M的坐標(biāo),分別表示出k1,k2,k3.比較k1+k2=λk3即可求得參數(shù)的值;
方法二:設(shè)B(x0,y0)(x0≠1),以之表示出直線FB的方程為,由此方程求得M的坐標(biāo),再與橢圓方程聯(lián)立,求得A的坐標(biāo),由此表示出k1,k2,k3.比較k1+k2=λk3即可求得參數(shù)的值
試題解析:
由在橢圓上得, ①
依題設(shè)知,則②
②帶入①解得, , .
故橢圓的方程為.
由題意可設(shè)的斜率為,
則直線的方程為③
代入橢圓方程并整理,得,
設(shè), ,則有
, ④
在方程③中令得, 的坐標(biāo)為 .
從而, , .
注意到, , 共線,則有,即有.
所以⑤
④代入⑤得,
又,所以,故存在常數(shù)符合題意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m、n作為點(diǎn)P的坐標(biāo)(m,n),求:
(1)點(diǎn)P在直線x+y=7上的概率;
(2)點(diǎn)P在圓x2+y2=25外的概率.
(3)將m,n,5的值分別作為三條線段的長,求這三條線段能圍成等腰三角形的概率.
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【題目】已知甲袋中有1個(gè)黃球和2個(gè)紅球,乙袋中有2個(gè)黃球和2個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從甲袋中取出兩個(gè)球放入乙袋中,然后從乙袋中隨機(jī)取出1個(gè)球,則從乙袋中取出紅球的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
寫出曲線的極坐標(biāo)的方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程;
若過點(diǎn)(極坐標(biāo))且傾斜角為的直線與曲線交于, 兩點(diǎn),弦的中點(diǎn)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù)f(x)=sinx+ cosx(x∈R),先將y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)θ(θ>0)個(gè)單位長度,得到的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱,則θ的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的圓錐中,OP是圓錐的高,AB是底面圓的直徑,點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),E是線段AC的中點(diǎn),D是線段PB的中點(diǎn),且PO=2,OB=1.
(1)試在PB上確定一點(diǎn)F,使得EF∥面COD,并說明理由;
(2)求點(diǎn)A到面COD的距離.
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【題目】如圖, , , , 是圓柱底面圓周的四等分點(diǎn), 是圓心, , , 與底面垂直,底面圓的直徑等于圓柱的高.
(1)證明: ;
(2)求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中, ,且對(duì)任意正整數(shù)都成立,數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)若,且,求;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列,且任意相鄰三項(xiàng)按某順序排列后成等差數(shù)列,若存在,求出所有的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若,求.(用表示).
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【題目】已知橢圓C1: + =1(a>b>0)過點(diǎn)A(1, ),其焦距為2.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)已知橢圓具有如下性質(zhì):若橢圓的方程為 + =1(a>b>0),則橢圓在其上一點(diǎn)A(x0 , y0)處的切線方程為 + =1,試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題:
(i)如圖(1),點(diǎn)B為C1在第一象限中的任意一點(diǎn),過B作C1的切線l,l分別與x軸和y軸的正半軸交于C,D兩點(diǎn),求△OCD面積的最小值;
(ii)如圖(2),過橢圓C2: + =1上任意一點(diǎn)P作C1的兩條切線PM和PN,切點(diǎn)分別為M,N.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在定圓恒與直線MN相切?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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