Question

（本題12分）函數(shù)．

（1）若，求的值；

（2）確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明．

 

Answer 1

（1）或；（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式分和兩種情況解方程即可；對于分段函數(shù)求值問題，要牢牢把握分段這一特點，分段討論，列出適合相應(yīng)段的數(shù)學(xué)關(guān)系式，準(zhǔn)確求解，正確合并，使問題得到解決．

（2）先判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；在利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明時，要嚴(yán)格按照取值、做差變形、判斷符號、做結(jié)論這四步進(jìn)行，學(xué)生在做題時易出以下錯誤：①在所給區(qū)間上取兩個特殊值驗證后就下結(jié)論；②做差變形不徹底，影響符號的判定；③缺少判定符號的過程；④做結(jié)論時缺少單調(diào)區(qū)間．

試題解析：（1）∵ ，，

∴當(dāng)時，，即，解之得或（舍）； 1分

當(dāng)時，，解之得或（舍）； 2分

綜上所述，實數(shù)a的值為或1． 4分

（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減． 6分

證明如下：

假設(shè)，則

8分

∵，∴，，∴，

∴， 10分

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減． 12分

考點：①給定分段函數(shù)的函數(shù)值，求自變量；②函數(shù)單調(diào)性的判定與證明．