Question

下列說(shuō)法：
①命題“?x∈R，使2^x≤3”的否定是“?x∈R，使2^x＞3”；
②函數(shù)f（x）=（m²-m-1）x^m是冪函數(shù)，且在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，則m=2；
③命題“函數(shù)f（x）在x=x₀處有極值，則f^′（x₀）=0”的否命題是真命題；
④函數(shù)y=tan(2x+

π

6

)在區(qū)間(-

π

3

，

π

12

)上單調(diào)遞增；
⑤“l(fā)og₂x＞log₃x”是“2^x＞3^x”成立的充要條件．
其中說(shuō)法正確的序號(hào)是

①②④

．

Answer 1

分析：根據(jù)含有量詞的命題的否定，可得①是真命題；根據(jù)冪函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，得②是真命題；通過(guò)舉出反例說(shuō)明，得到③是假命題；根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象的變換，可得④是真命題；根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和充分必要條件的含義，得到⑤是假命題．

解答：解：對(duì)于①，命題“?x∈R，使2^x≤3”是一個(gè)全稱(chēng)性命題，
它的否定應(yīng)該是改量詞為“存在”，再否定結(jié)論，得①是真命題；
對(duì)于②，若函數(shù)f（x）=（m²-m-1）x^m是冪函數(shù)，則m²-m-1=1，解之得m=2或-1
∴冪函數(shù)為f（x）=x²或f（x）=x^-1，
結(jié)合函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上是增函數(shù)，得m是正數(shù)，只有m=2符合，故②是真命題；
對(duì)于③，命題“函數(shù)f（x）在x=x₀處有極值，則f^′（x₀）=0”的否命題是
“函數(shù)f（x）在x=x₀處沒(méi)有極值，則f^′（x₀）≠0”，
以函數(shù)y=x³為例，它在x=0處沒(méi)有極值，但f^′（x₀）=0仍然成立，故③是假命題；
對(duì)于④，令-

π

2

+kπ＜2x+

π

6

＜

π

2

+kπ，k∈Z．得-

π

3

+kπ＜x＜

π

6

+kπ，k∈Z．
取k=0，得區(qū)間（-

π

3

，

π

6

），剛好包含區(qū)間(-

π

3

，

π

12

)，
因此，函數(shù)y=tan(2x+

π

6

)在區(qū)間(-

π

3

，

π

12

)上單調(diào)遞增；
對(duì)于⑤，由“l(fā)og₂x＞log₃x”，可得x＞1，得不出“2^x＞3^x”成立，
反之，當(dāng)“2^x＞3^x”成立，可得x＜0，顯然“l(fā)og₂x＞log₃x”不成立
“l(fā)og₂x＞log₃x”是“2^x＞3^x”的既不充分也不必要條件，故⑤是假命題．
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了含有量詞的命題否定、函數(shù)的極值與單調(diào)性、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和指對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．