Question

【題目】如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，

過(guò)A作AE垂直SB交SB于E點(diǎn)，作AH垂直SD交SD于H點(diǎn)，平面AEH交SC于K點(diǎn)，且AB=1，SA=2．

（1）證明E、H在以AK為直徑的圓上，且當(dāng)點(diǎn)P是SA上任一點(diǎn)時(shí)，試求的最小值；

（2）求平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）將側(cè)面繞側(cè)棱旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面在同一平面內(nèi)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，這時(shí)，的最小值即線段的長(zhǎng)，由此能求出結(jié)果；

（2）以A為原點(diǎn),分別以AB、AD、AS所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AEKH與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

（1）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面SAB，又平面SAB，∴EA⊥BC，又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC ，

又平面SBC，∴EA⊥EK， 同理 AH⊥KH，

∴E、H在以AK為直徑的圓上

現(xiàn)將側(cè)面SAB繞側(cè)棱SA旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面SAD在同一平面內(nèi)，如右圖示，

則當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，這時(shí)，的

最小值即線段BH的長(zhǎng)，設(shè),則，

在中，∵,∴,

在三角形BAH中，有余弦定理得：

∴.

（2）以A為原點(diǎn),分別以AB、AD、AS所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則S（0，0，2），C（1，1，0），由（1）可得AE⊥SC，AH⊥SC，

∴SC⊥平面AEKH，為平面AEKH的一個(gè)法向量，

為平面ABCDF的一個(gè)法向量，設(shè)平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的平面角為，則

∴平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值