Question

【題目】直四棱柱被平面所截得到如圖所示的五面體，，．

（1）求證：∥平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用面面平行的性質(zhì)定理，可證得線面平行；

（2）以為坐標原點，為軸，為軸，過垂直于的直線為軸，如圖建系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，求出向量夾角的余弦值，即可得到答案；

（1）在直四棱柱中，平面，

∵平面，∴

∵，，∴平面

同理可證平面，

∴平面平面，

∵平面，∴平面

（2）∵平面平面，平面平面，平面平面，∴∥，

∴和與平面所成角相等，即；

∵，∴，∴，

以為坐標原點，為軸，為軸，過垂直于的直線為軸，如圖建系，

，，，，

∴，，，

設(shè)為平面的一個法向量，則

，即，

令，則

設(shè)為平面的一個法向量，則

，即，

令，則，

則，

由圖知，二面角為銳角，則二面角的余弦值為．