Question

16．如圖，已知平行四邊形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分別是DF，BE的中點，記CD=x，V（x）表示四棱錐F-ABCD的體積．
（1）求V（x）的表達式；
（2）求V（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于FA⊥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，可得FA⊥平面ABCD．由于BC=2，BD⊥CD，CD=x，可得DB=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2）．∴S_{平行四邊形ABCD}=2S_△BCD．即可得出V（x）=$\frac{1}{3}{S}_{平行四邊形ABCD}•FA$．
（2）由基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）∵四邊形ADEF為正方形，∴FA⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴FA⊥平面ABCD．
∵BC=2，BD⊥CD，CD=x，
∴DB=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2）．
∴S_{平行四邊形ABCD}=2S_△BCD=2×$\frac{1}{2}x\sqrt{4-{x}^{2}}$=$x\sqrt{4-{x}^{2}}$．
∴V（x）=$\frac{1}{3}{S}_{平行四邊形ABCD}•FA$=$\frac{1}{3}x\sqrt{4-{x}^{2}}×2$=$\frac{2}{3}x\sqrt{4-{x}^{2}}$．（0＜x＜2）．
（2）由基本不等式的性質可得：V（x）$≤\frac{2}{3}$$•\frac{{x}^{2}+（4-{x}^{2}）}{2}$=$\frac{4}{3}$，當且僅當$x=\sqrt{4-{x}^{2}}$，即x=$\sqrt{2}$時取等號．
∴V（x）的最大值是$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質定理、四棱錐的體積計算公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．