Question

已知f（x）是定義在（0，﹢∞）上的增函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

2

）=-1．
（1）求證：f（2）=1；
（2）求不等式f（x）-f（x-3）＞1的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，令令x=y=1，求得f（1）=0，再令x=2，y=

1

2

，求得f（2）的值等于1，問題得證，
（2）原不等式轉(zhuǎn)化為f（x）＞f（x-3）+f（2）=f（2x-6），再根據(jù)函數(shù)f（x）是增函數(shù)，求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵令x=y=1，
則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
再令x=2，y=

1

2

，
則f（1）=f（2）+f（

1

2

），
∴f（2）=1，
（2）∵f（x）-f（x-3）＞1，
∴f（x）＞f（x-3）+f（2）=f（2x-6），
∵f（x）是定義在（0，﹢∞）上的增函數(shù)，
∴

x＞2x-6 x＞0 2x-6＞0

，
解得，3＜x＜6，
故不等式f（x）-f（x-3）＞1的解集為（3，6）．

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)所構(gòu)造不等式的解法，一般來講，這類不等式的解法利用函數(shù)的單調(diào)性定義求解，要注意利用主條件等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)單調(diào)性模型，將函數(shù)值關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量關(guān)系解決．