Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-c）²（x∈R，c是實(shí)常數(shù)）在x=2處取極大值．
（1）求c的值；
（2）在曲線y=f（x）上是否存在點(diǎn)M，使經(jīng)過點(diǎn)M的切線與曲線y=f（x）有且僅有一個公共點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，簡要說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)f（x）在x=2處取極大值．可得f′（2）=0，解得c=2或c=6，分類討論：研究函數(shù)的單調(diào)性極值，即可得出；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（a，a（a-6）²），使經(jīng)過點(diǎn)M的切線與曲線y=f（x）有且僅有一個公共點(diǎn)，切線方程為y-a（a-6）²=3（a-2）（a-6）（x-a），設(shè)g（x）=f（x）-[a（a-6）²+3（a-2）（a-6）（x-a）]．切線與曲線y=f（x）有且僅有一個公共點(diǎn)，即函數(shù)g（x）有且僅有一個零點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、零點(diǎn)即可．

解答： 解：（1）f′（x）=（x-c）²+2x（x-c）=（x-c）（3x-c），
∵函數(shù)f（x）在x=2處取極大值．
∴f′（2）=（2-c）（6-c）=0，
解得c=2或c=6，c=2時，由f′（x）=0得x=2或x=

2

3

，

x	(-∞， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，2)	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

由表格可知：f（x）在x=2處取得極小值，不符合題意．
c=6時，由f′（x）=0得x=2或x=6，

x	（-∞，2）	2	（2，6）	6	（6，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

由表格可知：f（x）在x=2處取得極大值，∴c=6．
（2）由（1）知f（x）=x（x-6）²，f′（x）=3（x-2）（x-6），
假設(shè)存在點(diǎn)M（a，a（a-6）²），使經(jīng)過點(diǎn)M的切線與曲線y=f（x）有且僅有一個公共點(diǎn)，
切線方程為y-a（a-6）²=3（a-2）（a-6）（x-a），
設(shè)g（x）=f（x）-[a（a-6）²+3（a-2）（a-6）（x-a）]，
切線與曲線y=f（x）有且僅有一個公共點(diǎn)，即函數(shù)g（x）有且僅有一個零點(diǎn)．
g′（x）=f′（x）-3（a-2）（a-6）=3（x-a）（x+a-8），
若a=4，則g′（x）=（x-4）²≥0，g（x）單調(diào)遞增，有且僅有一個零點(diǎn)x=a．
若a＜4，類似（1）討論知，g（x）在（a，8-a）單調(diào)遞減，在（8-a，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（8-a）＜g（a）=0，從而g（x）在（8-a，+∞）有一個零點(diǎn)，
∴g（x）在定義域有兩個零點(diǎn)．
同理，若a＞4，g（x）在定義域有兩個零點(diǎn)．
綜上所述：存在唯一一點(diǎn)M（4，16），經(jīng)過點(diǎn)M的切線與曲線y=f（x）有且僅有一個公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．