Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1+lnx}{x}$，證明：f（x）≤1．

Answer 1

分析 令g（x）=lnx-x+1，g'（x）=$\frac{1}{x}$-1，確定函數(shù)的單調(diào)性，證明g（x）=lnx-x+1≤g（1）=0，即可證明結(jié)論．

解答 證明：f（x）≤1，只需要證明 lnx+1≤x．
令g（x）=lnx-x+1，g'（x）=$\frac{1}{x}$-1 
x≥1時(shí)，g'（x）≤0，所以g（x）是減函數(shù)；0＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)，
所以g（x）=lnx-x+1≤g（1）=0，
∴l(xiāng)nx+1≤x，∴$f（x）=\frac{1+lnx}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．