Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，O是橢圓的中點(diǎn)，ON=4，則點(diǎn)M到橢圓C的左準(zhǔn)線的距離為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由已知求得M到右焦點(diǎn)的距離，然后結(jié)合三種圓錐曲線統(tǒng)一的定義得答案．

解答 解：如圖，

由橢圓C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1，知a²=25，b²=9，
∴c²=a²-b²=16，∴c=4．
則e=$\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$，
∵點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，O是橢圓的中心，ON=4，
∴|MF′|=8，則|MF|=2a-|MF′|=10-8=2，
設(shè)點(diǎn)M到橢圓C的左準(zhǔn)線的距離為d，則$\frac{|MF|}dxixqxp=e=\frac{4}{5}$，得d=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查三種圓錐曲線統(tǒng)一定義的應(yīng)用，是中檔題．