Question

14．用半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的圓鐵皮剪一個內(nèi)接矩形，再以內(nèi)接矩形的兩邊分別作為圓柱的高與底面半徑，則該圓柱體積的最大值為（　　）

• A． π
• B． $\sqrt{2}$π
• C． $\sqrt{3}$π
• D． 2π

Answer 1

分析 設(shè)圓柱的高為x，則其為內(nèi)接矩形的一邊長，那么另一邊長為y=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，則圓柱的體積V（x）=πx（3-x²）=π（-x³+3x），0＜x＜$\sqrt{3}$，由此能求出該圓柱體積的最大值．

解答 解：設(shè)圓柱的高為x，則其為內(nèi)接矩形的一邊長，
那么另一邊長為y=2$\sqrt{\frac{3}{4}-（\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，
∴圓柱的體積V（x）=πx（3-x²）=π（-x³+3x），0＜x＜$\sqrt{3}$，
∴V′=3π（-x²+1），
列表如下：

x	（0，1）	1	（1，$\sqrt{3}$）
V′（x）	+	0	-

∴當(dāng)x=1時，此圓柱體積最大．最大值為V（x）_max=π（-1³+3×1）=2π．
故選：D．

點評 本題考查圓柱體體積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．