Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）-4cos²x+2，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若x∈[

3π

4

，π]求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)可求得f（x）=2sin（2x-

π

6

）；
（1）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，解不等式組2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）由x∈[

3π

4

，π]可得：2x-

π

6

∈[

4π

3

，

11π

6

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，可求得其值域．

解答： 解：f（x）=2sin（2x+

π

6

）-4cos²x+2
=2（sin2x•

3

2

+cos2x•

1

2

）-2cos2x
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）…（3分）
（1）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z），
即函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）…（5分）
（2）x∈[

3π

4

，π]⇒2x-

π

6

∈[

4π

3

，

11π

6

]，-2≤2sin（2x-

π

6

）≤-1．
所以，f（x）的值域?yàn)閇-2，-1]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，考查三角恒等變換的應(yīng)用，求得f（x）=2sin（2x-

π

6

）是關(guān)鍵，屬于中檔題．