是否存在圓錐曲線(xiàn)C，同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：

         （1）原點(diǎn)O及直線(xiàn)為曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)；

         （2）被直線(xiàn)垂直平分的直線(xiàn)截曲線(xiàn)C所得的弦長(zhǎng)恰好為。

         若存在，求出曲線(xiàn)C的方程，若不存在，說(shuō)明理由。

                  

解：設(shè)存在符合題設(shè)的圓錐曲線(xiàn)C，此曲線(xiàn)離心率為（>0），P（x，y）是曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)。

         由圓錐曲線(xiàn)的定義有

         化簡(jiǎn)整理得，                ①

         設(shè)曲線(xiàn)C被直線(xiàn)垂直平分，其弦長(zhǎng)為的弦所在直線(xiàn)方程為,這弦的兩個(gè)端點(diǎn)

         將代入①式中，消去y得

                                ②

         由題意0，

        

         由此可解得AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為

        

         由條件（2），中點(diǎn)D在，于是有：

        

         解③，代入④得。

         經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，因此符合條件的曲線(xiàn)C存在，其方程為。


解析:

這是一道開(kāi)放性的題目，探求滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件的圓錐曲線(xiàn)是否存在，本題的難點(diǎn)是題目沒(méi)有具體的給出圓錐曲線(xiàn)的形狀，由條件（1）給出焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)，因此可考慮用圓錐曲線(xiàn)統(tǒng)一定義，設(shè)離心率為，通過(guò)計(jì)算，推理，探求的存在性。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•湖北）設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，i是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線(xiàn)，D是直線(xiàn)i與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線(xiàn)l上，且滿(mǎn)足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C．
（I）求曲線(xiàn)C的方程，判斷曲線(xiàn)C為何種圓錐曲線(xiàn)，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P、Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線(xiàn)QN交曲線(xiàn)C于另一點(diǎn)H，是否存在m，使得對(duì)任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•廣州三模）如圖，長(zhǎng)為m+1（m＞0）的線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且
AM
=m
MB
．
（1）求點(diǎn)M的軌跡Γ的方程，并判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線(xiàn)；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（
1
2
，0）且斜率不為0的直線(xiàn)交軌跡Γ于C、D兩點(diǎn)．試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使PQ平分∠CPD？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：高三數(shù)學(xué)教學(xué)與測(cè)試 題型：044

是否存在一條圓錐曲線(xiàn)C，同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：(1)以點(diǎn)F(－1，0)為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)x＝－4為準(zhǔn)線(xiàn)；(2)與拋物線(xiàn)＝x－2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．若存在，求出曲線(xiàn)C的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線(xiàn)，D是直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線(xiàn)l上，且滿(mǎn)足當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C。

（1）求曲線(xiàn)C的方程，判斷曲線(xiàn)C為何種圓錐曲線(xiàn)，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)。

（2）過(guò)原點(diǎn)斜率為K的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，且它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線(xiàn)QN交曲線(xiàn)C于另一點(diǎn)H，是否存在m,使得對(duì)任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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