Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{k}{x}$有兩個零點x₁、x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）求證：x₁+x₂＞$\frac{2}{e}$．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=xlnx的圖象與直線y=k有2個交點，求出g（x）的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，從而求出k的范圍即可；
（2）設(shè)x₁＜x₂，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到x₂，$\frac{2}{e}$-x₁∈（$\frac{1}{e}$，+∞），g（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{k}{x}$有2個零點，
即函數(shù)g（x）=xlnx的圖象與直線y=k有2個交點，
g′（x）=lnx+1，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
x=$\frac{1}{e}$是極小值點，g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
又x→0時，g（x）→0，
x→+∞時，g（x）→+∞，g（1）=0，
g（x）的大致圖象如圖示：
；
由圖象得：-$\frac{1}{e}$＜k＜0，
（2）證明：不妨設(shè)x₁＜x₂，由（1）得：0＜x₁＜$\frac{1}{e}$＜x₂＜1，
令h（x）=g（x）-g（$\frac{2}{e}$-x）=xlnx-（$\frac{2}{e}$-x）ln（$\frac{2}{e}$-x），
h′（x）=ln[-（ex-1）²+1]，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時，h′（x）＜0，h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，h（$\frac{1}{e}$）=0，
∴h（x₁）＞0，即g（x₁）＞g（$\frac{2}{e}$-x₁），g（x₂）＞g（$\frac{2}{e}$-x₁），
x₂，$\frac{2}{e}$-x₁∈（$\frac{1}{e}$，+∞），g（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
∴x₂＞$\frac{2}{e}$-x₁，
故x₁+x₂＞$\frac{2}{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)零點問題，是一道中檔題．