Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和A_n=(

1

3

)n-c．數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（3）若數(shù)列{

1

bnbn+1

}前n項和為T_n，問T_n＞

1001

2010

的最小正整數(shù)n是多少？．

Answer 1

分析：（1）a1=A1=

1

3

-c，  a2=A2-A1=(

1

9

-c)-(

1

3

-c)=-

2

9

，a3=A3-A2=(

1

27

-c)-(

1

9

-c)=-

2

27

，又數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由

Sn

-

Sn-1

=1(n≥2)，  S1=b1=1，知數(shù)列{

Sn

}是首項為1公差為1的等差數(shù)列．所以S_n=n²．由此能求出數(shù)列{的通項公式．
（3）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

n

2n+1

．由Tn=

n

2n+1

＞

1001

2010

得n＞

1001

8

，由此能求出滿足Tn＞

1001

2010

的最小正整數(shù)．

解答：解：（1）a1=A1=

1

3

-c，  a2=A2-A1=(

1

9

-c)-(

1

3

-c)=-

2

9

，a3=A3-A2=(

1

27

-c)-(

1

9

-c)=-

2

27

，
又數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，
a1=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，
所以 c=1；
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，
所以an=-

2

3

×(

1

3

) n-1=-2×(

1

3

)n，n∈N^*．
（2）∵

Sn

-

Sn-1

=1(n≥2)，  S1=b1=1，
∴數(shù)列{

Sn

}是首項為1公差為1的等差數(shù)列．
∴

Sn

=1+（n-1）×1．
∴S_n=n²．
當n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
∴b_n=2n-1（n∈N^*）；                
（3）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

 )+…+

1

2

×

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
由Tn=

n

2n+1

＞

1001

2010

得n＞

1001

8

，
故滿足Tn＞

1001

2010

的最小正整數(shù)為126．

點評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．