Question

求過原點(diǎn)作曲線C：y=x³-3x²+2x-1的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，求出切線方程，根據(jù)切線過原點(diǎn)，代入切線方程，再由切點(diǎn)在曲線上，得到方程，解方程，即可得到切點(diǎn)，進(jìn)而得到切線方程．

解答： 解：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
∵y′=3x²-6x+2，
∴切線斜率為3x₀²-6x₀+2，
∴切線方程為y-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀）
∵切點(diǎn)在曲線C上，
∴y₀=x₀³-3x₀²+2x₀-1，①
又切線過原點(diǎn)，
∴-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（-x₀），②
由①②得0=-2x₀+3x₀-1，
∴2x₀³-3x₀²+1=0，
因式分解得：（x₀-1）²（2x₀+1）=0，
∴x₀=1或x₀=-

1

2

，
∴兩個(gè)切點(diǎn)為（1，-1），（-

1

2

，-

23

8

）
∴兩條切線方程為y+1=-（x-1）和y+

23

8

=

23

4

（x+

1

2

）
即x+y=0或23x-4y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查直線方程的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．