Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E在棱CD上．
（1）求證：EB₁⊥AD₁；
（2）若E是CD中點(diǎn)，求EB₁與平面AD₁E所成的角；
（3）設(shè)M在BB₁上，且

BM

MB1

=

2

3

，是否存在點(diǎn)E，使平面AD₁E⊥平面AME，若存在，指出點(diǎn)E的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD₁依次為x軸、y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
并設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（0，t，0）
（1）

AD1

=(-1，0，1)，

EB1

=(1，1-t，1)
∵

AD1

•

EB1

=0，
∴EB₁⊥AD₁
（2）當(dāng)E是CD中點(diǎn)時(shí)，

AD1

=(-1，0，1)，

AE

=(-1，

1

2

，0)，
設(shè)平面AD₁E的一個(gè)法向量是

n

=（x，y，z），
則由

AD1

•

n

=0，

AE

•

n

=0
得一組解是

n

=(1，2，1)，
又

EB1

=(1，1-t，1)，由cosθ=

EB1 • n

| EB1 || n |

=

6

3

，
從而直線EB₁與平面AD₁E所成的角的正弦值是

6

3

（3）設(shè)存在符合題意的E點(diǎn)為E（0，t，0）可得平面AD₁E的一個(gè)法向量是

a

=(t，1，t)，
平面AME的一個(gè)法向量是

b

=(t，1，-

5

2

)
∵平面AD₁E⊥平面AME，
∴

a

•

b

=t2+1-

5

2

t=0，
解得t=

1

2

或t=2（舍），
故當(dāng)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)時(shí)，平面AD₁E⊥平面AME