Question

已知函數(shù)f（x）=1nx-

1

2

ax²-x（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若y=f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=1nx-x²-x（a∈R）．求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)小于0，可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間，繼而得到f（x）的極值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)進行理解，即f′（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax²+x-1＞0在正數(shù)范圍內(nèi)至少有一個解，結(jié)合根的判別式列式，不難得到a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=1nx-x²-x，其定義域為（0，+∞），
∴函數(shù)f′（x）=

1

x

-2x-1=-

(x+1)(2x-1)

x

．
令f′（x）＜0，則x＞

1

2

．
令f′（x）＞0，則0＜x＜

1

2

．
則函數(shù)f（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增，在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減，
函數(shù)f（x）在x=

1

2

處取得極大值-

3

4

-ln2；
（Ⅱ）對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=-

ax2+x-1

x

，（x＞0）
依題意，得f′（x）＜0在（0，+∞）上有解．
即ax²+x-1＞0在x＞0時有解．
①當(dāng)a=0時，x＞1在（0，+∞）上有解．
②當(dāng)a＞0時，ax²+x-1＞0在（0，+∞）上總有解．
③當(dāng)a＜0時，x＞1在（0，+∞）上有解．
則△=1+4a＞0且方程ax²+x-1=0至少有一個正根．
∴-

1

4

＜a＜0，
綜上，a的取值范圍為（-

1

4

，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，以及函數(shù)與方程思想，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)值為一種研究函數(shù)的工具，能完成單調(diào)性的判定和最值的求解方程，同時能結(jié)合常用數(shù)學(xué)思想，來考查同學(xué)們靈活運用知識解決問題的能力．