Question

已知圓C：x²+y²+2x-8y+9=0．
（I）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．
（II）從圓C外一點(diǎn)P（x，y）向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中圓C：x²+y²+2x-8y+9=0，圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，由于原點(diǎn)在圓內(nèi)，可得切線的斜率為-1，進(jìn)而求出切線的方程．
（II）由從圓C外一點(diǎn)P（x，y）向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，可當(dāng)|PM|取得最小值時(shí)，PC與直線2x-8y+9=0垂直，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（I）⊙C的方程化為：（x+1）²+（y-4）²=8，顯然O（0，0）在圓外．
若截距相等且不為0，可設(shè)切線l的方程為：，即：x+y-a=0．
則圓心C（-1，4）到切線l的距離為：d===2
∴|a-3|=4
即：a=7或a=-1．
此時(shí)切線l的方程為：x+y-7=0，或x+y+1=0．
當(dāng)截距相等且均為0時(shí)，可設(shè)切線l的方程為：y=kx，即kx-y=0．
則圓心C（-1，4）到切線l的距離為：d==2
∴7k²-8k-8=0，得：k==
∴此時(shí)，切線的方程為y=x或y=x
綜上，切線的方程為：x+y-7=0，或x+y+1=0，或y=x或y=x
（II）依題意，|PM|²=|PC|²-|MC|²=（x+1）²+（y-4）²-（2）²，
由|PM|=|PO|，
∴（x+1）²+（y-4）²-（2）²=x²+y²，
即：2x-8y+9=0
即，點(diǎn)P的軌跡方程為：2x-8y+9=0．…10分
只有當(dāng)PC與直線2x-8y+9=0垂直時(shí)，切線PM的長(zhǎng)最小．
此時(shí)可設(shè)切線的方程為8x+2y+c=0，將C（-1，4）代入，可得c=0．
由
即
即P坐標(biāo)為（，）…13分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓的切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，其中熟練掌握切線在x軸和y軸上的截距相等的意義是解答本題的關(guān)鍵．