Question

5．已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，
（1）求圓心和半徑
（2）是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）圓的標準方程為（x-1）²+（y+2）²=9，即可得到圓心和半徑．
（2）利用l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，建立條件方程即可得到結論．

解答 解：（1）圓的標準方程為（x-1）²+（y+2）²=9，圓心C（1，-2），半徑r=3；
（2）圓C化成標準方程為（x-1）²+（y+2）²=9，假設存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標為（a，b）．
∵CM⊥l，即k_CM•k_l=$\frac{b+2}{a-1}$×1=-1，
∴b=-a-1，
∴直線l的方程為y-b=x-a，即x-y-2a-1=0，
∴|CM|²=（$\frac{|1+2-2a-1|}{\sqrt{2}}$）²=2（1-a）²，
∴|MB|²=|CB|²-|CM|²=-2a²+4a+7，
∵|MB|=|OM|，
∴-2a²+4a+7=a²+b²，得a=-1或$\frac{3}{2}$，
當a=$\frac{3}{2}$時，b=-$\frac{5}{2}$，此時直線l的方程為x-y-4=0，
當a=-1時，b=0，此時直線l的方程為x-y+1=0，
故這樣的直線l是存在的，方程為x-y-4=0或x-y+1=0．

點評 本題主要考查求圓的切線方程，直線和圓的位置關系應用，一元二次方程根與系數(shù)的關系，屬于中檔題．