Question

已知向量

a

=（mx²，-1），

b

=（

1

mx-1

，x）（m是常數(shù)），且f（x）=

1

a • b

．
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求m的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（

x

2

）-

x

2

，討論當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí)，函數(shù)g（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）首先把給出的兩個(gè)向量的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，化簡(jiǎn)后運(yùn)用奇函數(shù)的定義即可求解使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的實(shí)數(shù)m的值；
（2）g（x）=f（

x

2

）-

x

2

=m-

2

x

-

x

2

=

-x2+2mx-4

2x

，令h（x）=-x²+2mx-4，利用判別式判斷二次函數(shù)零點(diǎn)的情況，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意知

a

•

b

=

mx2

mx-1

-x=

x

mx-1

，
所以f（x）=

1

a • b

=

mx-1

x

=m-

1

x

．
由題知對(duì)任意的不為零的實(shí)數(shù)x，都有f（-x）=-f（x），
即m+

1

x

=-m+

1

x

成立，所以m=0．
（2）g（x）=f（

x

2

）-

x

2

=m-

2

x

-

x

2

=

-x2+2mx-4

2x

，
令h（x）=-x²+2mx-4，∴△=4m²-16，則有△＞0得，m＜-4或m＞4時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
由△=0得，m=±4時(shí)，h（x）有一個(gè)零點(diǎn)，
由△＜0得，-4＜m＜4時(shí)，h（x）沒有零點(diǎn)，
∴m＜-4或m＞4時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，m=±4時(shí)，g（x）有一個(gè)零點(diǎn)，-4＜m＜4時(shí)，g（x）沒有零點(diǎn)，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，模、夾角，考查了函數(shù)的奇偶性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是正確寫出兩個(gè)向量的數(shù)量積．