Question

已知P是橢圓

x2

4

+

y2

2

=1上的一點(diǎn)，求P到M（m，0）（m＞0）的距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（x，y），則

x2

4

+

y2

2

=1，所以y2=2-

x2

2

，-2≤x≤2，所以得到|PM|=

x2 2 -2mx+m2+2

，二次函數(shù)

x2

2

-2mx+m2+2的對(duì)稱(chēng)軸為x=2m，所以討論2m和區(qū)間[-2，2]的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)及在區(qū)間[-2，2]上的單調(diào)性即可求出該二次函數(shù)的最小值，從而求出|PM|的最小值．

解答： 解：設(shè)P（x，y），則x，y滿(mǎn)足：

x2

4

+

y2

2

=1；
∴y2=2-

x2

2

，-2≤x≤2；
∴|PM|=

(x-m)2+y2

=

(x-m)2+2- x2 2

=

x2 2 -2mx+m2+2

=

1 2 (x-2m)2+2-m2

；
∴①若0＜2m＜2，即0＜m＜1時(shí)，x=2m時(shí)，函數(shù)

1

2

(x-2m)2+2-m2取最小值2-m²；
∴此時(shí)|PM|的最小值為

2-m2

；
②若2m≥2，即m≥1時(shí)，二次函數(shù)

1

2

(x-2m)2+2-m2在[-2，2]上單調(diào)遞減；
∴x=2時(shí)，函數(shù)

1

2

(x-2m)2+2-m2取最小值（m-2）²；
∴此時(shí)|PM|的最小值為|m-2|．

點(diǎn)評(píng)：考查曲線(xiàn)上的點(diǎn)坐標(biāo)和曲線(xiàn)方程的關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)的最小值求法．