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2.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),當(dāng)x=-π4時(shí)函數(shù)f(x)能取得最小值,當(dāng)x=π4時(shí)函數(shù)y=f(x)能取得最大值,且f(x)在區(qū)間(π18,5π36)上單調(diào).則當(dāng)ω取最大值時(shí)φ的值為-π2

分析 根據(jù)x=-π4時(shí)f(x)取得最小值,x=π4時(shí)f(x)取得最大值,得出(n+12)•T=π2,求出T以及ω的值;再由f(x)在(π18,5π36)上單調(diào),得出T以及ω的取值;討論ω的取值,求出滿足條件的ω的最大值以及對應(yīng)φ的值.

解答 解:當(dāng)x=-π4時(shí)f(x)能取得最小值,x=π4時(shí)f(x)能取得最大值,
∴(n+12)•T=π4-(-π4),
即T=π2n+1,(n∈N)
解得ω=4n+2,(n∈N)
即ω為正偶數(shù);
∵f(x)在(π18,5π36)上單調(diào),
5π36-π18=π12T2,
即T=2πωπ6,
解得ω≤12;
當(dāng)ω=12時(shí),f(x)=cos(12x+φ),
且x=-π4,12×(-π4)+φ=-π+2kπ,k∈Z,
由|φ|≤π2,得φ=0,
此時(shí)f(x)=cos12x在(π18,5π36)不單調(diào),不滿足題意;
當(dāng)ω=10時(shí),f(x)=cos(10x+φ),
且x=-π4,10×(-π4)+φ=-π+2kπ,k∈Z,
由|φ|≤π2,得φ=-π2,
此時(shí)f(x)=cos(10x-π2)在(π18,5π36)單調(diào),滿足題意;
故ω的最大值為10,此時(shí)φ的值為-π2
故答案為:-π2

點(diǎn)評 本題考查了余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的應(yīng)用問題,難度較大.

練習(xí)冊系列答案
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