Question

已知函數(shù)f（x）=elnx+（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，k為正數(shù)）
（I）若f（x）在x=x處取得極值，且x是f（x）的一個零點，求k的值；
（II）若k∈[1，e]，求f（x）在區(qū)間[，1]上的最大值；
（III）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（，e）上是減函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的極值，單調(diào)性與最值問題．
（1）x是極值點導(dǎo)數(shù)值為0，函數(shù)值也為0，解方程得k．
（2）函數(shù)在閉區(qū)間上的最值：先利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，后求最值．
（3）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)故其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上≤0恒成立，故可解得k的范圍．
解答：解：（I）由已知f'（x）=0，即，（2分）
∴，又f（x）=0，即，∴k=1．（4分）

（II），
∵1≤k≤e，∴，（6分）
由此得時，f（x）單調(diào)遞減；
時，f（x）單調(diào)遞增
故（8分）
又
當ek-e＞k，即時，

當ek-e≤k，即時，
f_max（x）=f（1）=k（10分）

（III），
∵g（x）在在是減函數(shù)，
∴g'（x）≤0在上恒成立
即在上恒成立，
∴在上恒成立，（12分）
又當且僅當x=1時等號成立．
∴，∴（14分）
點評：本題關(guān)鍵是要明確導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值中的應(yīng)用．