Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）記的極值點(diǎn)為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得，分類討論求出函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出答案；

（2）由題意得，則，令函數(shù)，則，利用導(dǎo)數(shù)可求得，從而可得，可得，要證，只需，令，即證，令，求導(dǎo)后得函數(shù)的單調(diào)性與最值，由此可證結(jié)論．

解：（1）因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，若，則；若，則，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以，

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，所以必須，則，

所以，解得，

又因?yàn)?/span>時(shí)，； 時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，在和各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，

綜上，；

（2）由（1）知，且，

因?yàn)?/span>的兩個(gè)零點(diǎn)為，所以，所以，

解得，令所以，

令函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以，所以，所以，

因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>，所以，

所以，即，

要證，只需，

即證，即證，即證，

令，再令，即證，

令，則，

所以在單調(diào)遞增，所以，

所以，原題得證．