Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

12

=1，點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的焦點(diǎn)，Q為射線F₁P延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且|PQ|=|PF₂|，設(shè)R為F₂Q的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+4

2

）與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，若∠AOB=90°時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）設(shè)R（x，y），Q（x₁，y₁）．由|PQ|=|PF₂|，知|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=8，所以（x₁+2）²+y₁²=64，由此能導(dǎo)出R的軌跡方程．
（2）當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，在Rt△AOC中，∠AOC=45°，此時(shí)弦心距|OC|=2

2

，又|OC|=

|4 2 k|

1+k2

．由此能導(dǎo)出k的值．

解答：解：（1）F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）設(shè)R（x，y），Q（x₁，y₁）．∵|PQ|=|PF₂|，
∴|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=8，則（x₁+2）²+y₁²=64．（4分）
又

x= x1-2 2 y= y1 2

得x₁=2x-2，y₁=2y．
∴（2x）²+（2y）²=64，故R的軌跡方程為：x²+y²=16（7分）
（2）如圖，當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，此時(shí)弦心距|OC|=2

2

又|OC|=

|4 2 k|

1+k2

．由

|4 2 k|

1+k2

=2

2

得k=±

3

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．