Question

14．計算：$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{n}$•${（\frac{i}{n}）}^{2}$=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由于$（\frac{1}{n}）^{2}$+$（\frac{2}{n}）^{2}$+…+$（\frac{n}{n}）^{2}$=$\frac{1}{{n}^{2}}（{1}^{2}+{2}^{2}+…+{n}^{2}）$=$\frac{1}{{n}^{2}}×\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$=$\frac{2{n}^{2}+3n+1}{6n}$．再利用數(shù)列極限運(yùn)算法則即可得出．

解答 解：∵$（\frac{1}{n}）^{2}$+$（\frac{2}{n}）^{2}$+…+$（\frac{n}{n}）^{2}$=$\frac{1}{{n}^{2}}（{1}^{2}+{2}^{2}+…+{n}^{2}）$=$\frac{1}{{n}^{2}}×\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$=$\frac{2{n}^{2}+3n+1}{6n}$．
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{n}$•${（\frac{i}{n}）}^{2}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{n}^{2}+3n+1}{6{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}}{6}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了數(shù)列求和方法、數(shù)列極限運(yùn)算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．