在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點．

(1)如果直線l過拋物線的焦點，求·的值；

(2)如果·＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．


解：(1)由題意：拋物線焦點為(1,0)，

設l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x，

消去x得y2－4ty－4＝0，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，

y1y2＝－4，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2

＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.

(2)證明：設l：x＝ty＋b代入拋物線y2＝4x，消去x得

y2－4ty－4b＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2

＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.

∴直線l過定點(2,0)．

∴若·＝－4，則直線l必過一定點(2,0)．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


函數(shù)f(x)在[－2,2]內(nèi)的圖象如圖所示，若函數(shù)f(x)的導函數(shù)f ′(x)的圖象也是連續(xù)不間斷的，則導函數(shù)f ′(x)在(－2,2)內(nèi)有零點(　　)

A．0個                                                         B．1個

C．2個                                                         D．至少3個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


中心在坐標原點的橢圓，焦點在x軸上，焦距為4，離心率為，則該橢圓的方程為(　　)

A.＋＝1                     B.＋＝1

C.＋＝1                     D.＋＝1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


設A，B分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左，右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.

(1)求雙曲線的方程；

(2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋＝t，求t的值及點D的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知拋物線y2＝2px的焦點F與雙曲線－＝1的右焦點重合，拋物線的準線與x軸的交點為K，點A在拋物線上，且|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為(　　)

A．4     B．8

C．16  D．32

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是            。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


若關于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解，則實數(shù)的最大值為     。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


曲線y＝x3－2x＋4在點(1,3)處的切線的傾斜角為(　 　)

A．30°       B．45°         C．60°         D．120°

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


在中，已知，則A=      

A．           B．           C．            D．

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