Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）
（Ⅰ）設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=

f(x)

x

，若函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過(guò)討論a的取值，確定函數(shù)在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a）．
（Ⅱ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，或利用導(dǎo)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由于a＞0，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1
對(duì)稱(chēng)軸為x=

1

2a

，
當(dāng)0＜

1

2a

＜1即a＞

1

2

時(shí)，f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，g（a）=f（1）=3a-2；
當(dāng)1≤

1

2a

≤2即

1

4

≤a≤

1

2

時(shí)，g(a)=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1；
當(dāng)

1

2a

＞2即0＜a＜

1

4

時(shí)，f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．
綜上可得g(a)=

6a-3，0＜a＜ 1 4 2a- 1 4a -1， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，a＞ 1 2

．
（Ⅱ）h(x)=ax+

2a-1

x

-1，在區(qū)間[1，2]上任取x₁，x₂，x₁＜x₂，
則h(x2)-h(x1)=(ax2+

2a-1

x2

-1)-(ax1+

2a-1

x1

-1)=(x2-x1)(a-

2a-1

x1x2

)=

x2-x1

x1x2

[ax1x2-(2a-1)]（*）
∵h(yuǎn)（x）在[1，2]上為增函數(shù)，∴h（x₂）-h（x₁）＞0
∴（*）可轉(zhuǎn)化為ax₁x₂-（2a-1）＞0對(duì)任意x₁，x₂，x₁＜x₂，在區(qū)間[1，2]上都成立．
即ax₁x₂＞2a-1  （12分）
因?yàn)閍＞0，所以x1x2＞

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4得

2a-1

a

≤1，解得0＜a≤1；
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1．
（2）另解：h(x)=ax+

2a-1

x

-1=a(x+

2a-1 a

x

)-1
由于對(duì)勾函數(shù)m(x)=x+

b

x

(b＞0)在區(qū)間(0，

b

]上遞減，在區(qū)間[

b

，+∞)上遞增；
∴當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，

2a-1

a

＞0，由題應(yīng)有

2a-1 a

≤1，
∴

1

2

＜a≤1．
當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，h(x)=ax+

2a-1

x

-1為增函數(shù)滿(mǎn)足條件．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)的判斷和應(yīng)用．