Question

17．在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三條邊長求三角形面積．若三角形的三邊長為a，b，c，其面積S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$，這里p=$\frac{1}{2}$（a+b+c），已知在△ABC中，BC=6，AB=2AC，其面積取最大值時sinA=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)b=x，則c=2x，根據(jù)海倫面積公式得S_△ABC的解析式，由三角形三邊關(guān)系求得2＜x＜6，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得S_△ABC取得最大值，從而求出sinA的值即可．

解答 解：∵a=6，設(shè)b=x，則c=2x，可得：p=$\frac{1}{2}$（a+b+c）=3+$\frac{3x}{2}$，
∴S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$=$\sqrt{（3+\frac{3}{2}x）（\frac{3}{2}x-3）（3+\frac{1}{2}x）（3-\frac{1}{2}x）}$=$\sqrt{144-{\frac{9}{16}{（x}^{2}-20）}^{2}}$
由三角形三邊關(guān)系有：x+2x＞6且x+6＞2x，解得：2＜x＜6，
故當(dāng) x=2$\sqrt{5}$時，S_△ABC取得最大值12．
由$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$sinA=12，解得：sinA=$\frac{3}{5}$，
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和海倫面積公式在解三角形中的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．