Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，并猜a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）直接由已知求a₂，a₃，a₄的值，并猜a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項公式為a_n=

1

2n-1

．

解答： （Ⅰ）解：由a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，求得a₂=

1

3

，a₃=

1

7

，a₄=

1

15

．
猜a_n=

1

2n-1

；
（Ⅱ）證明：（1）n=1時，a₁=1，

1

21-1

=1，等式成立，
（2）設(shè)n=k（k≥1）時，等式成立，即a_k=

1

2k-1

，
則ak+1=

ak

ak+2

=

1 2k-1

1 2k-1 +2

=

1

2k+1-1

，
因此n=k+1時等式成立．
由（1），（2）可知，?n∈N^*，有：a_n=

1

2n-1

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，利用歸納法證題是注意歸納假設(shè)的應(yīng)用，是中檔題．