Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，右焦點為F，且橢圓E上的點到點F距離的最小值為2．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)橢圓E的左、右頂點分別為A，B，過點A的直線l與橢圓E及直線x=8分別相交于點M，N．
①當(dāng)過A，F(xiàn)，N三點的圓半徑最小時，求這個圓的方程；
②若cos∠AMB=-

65

65

，求△ABM的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由橢圓的離心率結(jié)合橢圓E上的點到點F距離的最小值為2列關(guān)于a，c的方程，求出a，c的值后結(jié)合隱含條件求得b的值；
（2）①設(shè)出N的坐標（8，t）及圓的一般式方程，把A，F(xiàn)，N的坐標代入圓的方程，求出半徑，利用基本不等式求得半徑的最小值及t的值，則圓的方程可求；
②聯(lián)立直線和橢圓方程，求出M的坐標，由向量的夾角公式求出直線的斜率k，得到y(tǒng)的縱坐標為定值3，代入三角形的面積公式得答案．

解答： 解：（1）由已知，

c

a

=

1

2

，且a-c=2，
解得a=4，c=2，
∴b²=a²-c²=12，
∴a=4，b=2

3

；
（2）①由（1），A（-4，0），F(xiàn)（2，0），設(shè)N（8，t）．
再設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將點A，F(xiàn)，N的坐標代入，得

16-4D+F=0 4+2D+F=0 64+t2+8D+Et+F=0

，解得

D=2 E=-t- 72 t F=-8

，
∴圓的方程為x2+y2+2x-(t+

72

t

)y-8=0，
即(x+1)2+[y-

1

2

(t+

72

t

)]2=9+

1

4

(t+

72

t

)2，
∵(t+

72

t

)2≥(2

72

)2，當(dāng)且僅當(dāng)t+

72

t

=±12

2

時，圓的半徑最小，
故所求圓的方程為x2+y2+2x±12

2

y-8=0．
②由對稱性不妨設(shè)直線l的方程為y=k（x+4）（k＞0）．
由

y=k(x+4) x2 16 + y2 12 =1

，得M(

12-16k2

3+4k2

，

24k

3+4k2

)，
∴

MA

=(

-24

3+4k2

，

-24k

3+4k2

)，

MB

=(

32k2

3+4k2

，

-24k

3+4k2

)，
∴cos∠AMB=

MA • MB

| MA |•| MB |

=

-8×24k

24 1+k2 • (32k)2+242

=-

65

65

，
化簡，得16k⁴-40k²-9=0，
解得k2=

1

4

，或k2=

9

4

，即k=

1

2

，或k=

3

2

，
此時總有y_M=3．
∴△ABM的面積為

1

2

×8×3=12．

點評：本題考查了橢圓與圓的方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了平面向量在解析幾何中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力，是壓軸題．