Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n-2a_n-1-2^n-1=0（n∈N^*，n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，由此證明{

an

2n

}是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等差數(shù)列．
（2）由（1）知

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)，從而得到an=n•2n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a1=1， an-2an-1-2n-1=0(n∈N*，n≥2)，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，
又

a1

2

=

1

2

，
∴{

an

2n

}是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)，
∴an=n•2n-1，
∴Sn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n-1，①
2Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，②
①-②，得：
-S_n=1=1+2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2n
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．