Question

數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)為a，對(duì)任意正整數(shù)n，a_n•a_n+1=

4n

2

恒成立．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）記b_n為數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)的和，若對(duì)任意正整數(shù)n，不等式b_n≤

11

4

（4ⁿ-1）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用遞推思想依次求出a₂=

2

a

，a₃=4a，再由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列能求出a的值．
（Ⅱ）由已知條件知b1=a+

2

a

≤

11

4

(4-1)，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)為a，
對(duì)任意正整數(shù)n，a_n•a_n+1=

4n

2

恒成立，∴a•a2=

4

2

=2，解得a₂=

2

a

，

2

a

•a3=

42

2

=8，解得a₃=4a，
∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，∴(

2

a

)2=a•4a，
解得a=1或a=-1（舍）．
∴a=1．
（Ⅱ）∵b_n為數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)的和，
對(duì)任意正整數(shù)n，不等式b_n≤

11

4

（4ⁿ-1）恒成立，
∴b1=a+

2

a

≤

11

4

(4-1)，
整理，得：4a²-33a+8≤0，
解得

1

4

≤a≤8，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

1

4

，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足等比數(shù)列的實(shí)數(shù)值的求法，考查滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意遞推思想的合理運(yùn)用．