Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²．
（2）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）當a=1時，f′（x）=3x²+2x，令f′（x）=0得x=0或x=-

2

3

，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）由函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，于是對任意的x∈[1，2]恒有f′（x）≥0，即對任意的x∈[1，2]恒有a≥-

3

2

x，從而a≥[-

3

2

x]max，而函數(shù)y=-

3

2

x在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，進而求出a的范圍．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax，
（1）當a=1時，f′（x）=3x²+2x，
令f′（x）=0得x=0或x=-

2

3

，
∴當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，0)	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴f（x）的遞增區(qū)間是(-∞，-

2

3

)，（0，+∞）；遞減區(qū)間是(-

2

3

，0)．
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴對任意的x∈[1，2]恒有f′（x）≥0，即對任意的x∈[1，2]恒有a≥-

3

2

x，
∴a≥[-

3

2

x]max，而函數(shù)y=-

3

2

x在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴當x=1時，函數(shù)y=-

3

2

x取最大值-

3

2

，
∴a≥-

3

2

．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，參數(shù)的取值，導數(shù)的應用，是一道基礎題．