已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(
1
2
f(x)，cosx)，
m
∥
n
．
（I）求f（x）的單調增區(qū)間及在[-
π
6
，
π
4
]內的值域；
（II）已知A為△ABC的內角，若f(
A
2
)=1+
3
，a=1，b=
2
，求△ABC的面積．
分析：由
m
∥
n
，根據(jù)向量平行的坐標表示整理可求f（x）=2sin（2x+
π
6
）+1
（1）令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
可求函數(shù)的單調增區(qū)間，由所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間可求函數(shù)在[-
π
6
，
π
4
]單調性，進而可求函數(shù)的值域
（2）由題f（
1
2
A）=1+
3
及a＜b可求A，然后由正弦定理可得，sinB=
bsinA
a
可求B，進而可求C，代入三角形的面積公式S△ABC=
1
2
absinC可求
解答：解：∵
m
∥
n

∴(
3
sinx+cosx)cosx-
1
2
f(x)=0
∴f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x=
3
sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+
π
6
）+1
（1）令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
可得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z
∴f（x）的單調增區(qū)間為[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]k∈Z
由所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間可知，函數(shù)在[-
π
6
，
π
4
]單調遞增
∴0≤f(x)≤
3
+1
（2）由題意可得，f（
1
2
A）=2sin（A+
π
6
）+1=1+
3

∴sin（A+
π
6
）=
3
2

∵A∈（0，π）
∴A+
π
6
∈(
π
6
，
7π
6
)
∴A+
π
6
=
π
3
或
2π
3

∴A=
π
6
或
π
2

∵a=1＜b=
2

∴A=
1
2
π不合題意
當A=
π
6
時，由正弦定理可得，sinB=
bsinA
a
=
2
×
1
2
1
=
2
2

∵a＜b
∴A＜B
∴B=
π
4
或
3π
4

當A=
π
6
，B=
π
4
時，C=
7π
12
，此時S△ABC=
1
2
absinC=
1
2
×1×
2
sin
7π
12
=
2
×
2
+
6
4
=
3
+1
2


當A=
π
6
，B=
3π
4
時，C=
π
12
，此時S△ABC=
1
2
absinC=
1
2
×1×
2
sin
π
12
=
2
×
6
-
2
4
=
3
-1
2
點評：本題主要考查了向量平行的坐標表示的應用，三角函數(shù)的輔助角公式及正弦函數(shù)的性質、三角形的面積公式等知識的綜合應用，具有一定的 綜合性
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx，cosx)，
n
=(cosx，cosx)，
p
=(2
3
，1)．
（1）若
m
∥
n
，求sinx•cosx的值；
（2）設△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角B的取值集合為M，當x∈M時，求函數(shù)f（x）=
m
•
n
的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx-cosx，  1)，
n
=(cosx，  
1
2
)，若f(x)=
m
•
n
．
（1） 求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2） 已知△ABC的三內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3， f(
C
2
+
π
12
)=
3
2
（C為銳角），2sinA=sinB，求C、a、b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，且
m
⊥
n
，
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x∈[0， 
π
2
]時，函數(shù)g(x)=a[f(x)-
1
2
]+b的最大值為3，最小值為0，試求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，
m
⊥
n
．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）已知A為△ABC的內角，若f(
A
2
)=
1
2
+
3
2
，a=1，b=
2
，求△ABC的面積．

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