如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為2的正方形,O為AC與BD的交點,,M是線段B1D1的中點.
(Ⅰ)求證:BM∥平面D1AC;
(Ⅱ)求證:D1O⊥平面AB1C.

【答案】分析:(Ⅰ)欲證BM∥平面D1AC,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證BM與平面D1AC內一直線平行,連接D1O,易證四邊形D1OBM是平行四邊形,則D1O∥BM,D1O?平面D1AC,BM?平面D1AC,滿足定理所需條件;
(Ⅱ)欲證D1O⊥平面AB1C,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證D1O與平面AB1C內兩相交直線垂直,連接OB1,根據(jù)勾股定理可知OB1⊥D1O,AC⊥D1O,又AC∩OB1=O,滿足定理所需條件.
解答:解:(Ⅰ)連接D1O,如圖,
∵O、M分別是BD、B1D1的中點,BDD1B1是矩形,
∴四邊形D1OBM是平行四邊形,∴D1O∥BM.(3分)
∵D1O?平面D1AC,BM?平面D1AC,
∴BM∥平面D1AC.(7分)
(Ⅱ)連接OB1,∵正方形ABCD的邊長為2,,
,OB1=2,D1O=2,
則OB12+D1O2=B1D12,∴OB1⊥D1O.(10分)
∵在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC⊥D1D,
∴AC⊥平面BDD1B1,又D1O?平面BDD1B1,
∴AC⊥D1O,又AC∩OB1=O,
∴D1O⊥平面AB1C.(14分)
點評:本題考查直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,考查學生空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
練習冊系列答案
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90°
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(Ⅰ)若點M,N,K分別是棱HA,HC,HF的中點,點G是NK上的任意一點,求證:MG∥平面ACF;
(Ⅱ)已知原長方體材料中,AB=2m,AD=3m,DH=1m,根據(jù)藝術品加工需要,工程師必須求出該三棱錐的高.
(i) 甲工程師先求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ,再根據(jù)公式h=AH•sinθ求出三棱錐H-ACF的高.請你根據(jù)甲工程師的思路,求該三棱錐的高.
(ii)乙工程師設計了一個求三棱錐的高度的程序,其框圖如圖所示,則運行該程序時乙工程師應輸入的t的值是多少?(請直接寫出t的值,不要求寫出演算或推證的過程).

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(Ⅱ)已知原長方體材料中,AB=2m,AD=3m,DH=1m,根據(jù)藝術品加工需要,工程師必須求出該三棱錐的高.
(i) 甲工程師先求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ,再根據(jù)公式h=AH•sinθ求出三棱錐H-ACF的高.請你根據(jù)甲工程師的思路,求該三棱錐的高.
(ii)乙工程師設計了一個求三棱錐的高度的程序,其框圖如圖所示,則運行該程序時乙工程師應輸入的t的值是多少?(請直接寫出t的值,不要求寫出演算或推證的過程).

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