Question

6．已知函數(shù)f（x）=a•2^x-2^-x定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）若不等式f（9^x+1）+f（t-2•3^x+5）＞0在在R上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的判定即可得出a的值；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義判斷，得出f（x₁）-f（x₂）＜0；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論和奇函數(shù)的性質(zhì)，不等式可轉(zhuǎn)化為t＞-9^x+2•3^x-6，利用換元法和二次函數(shù)的知識求出右式的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x） 對任意x∈R恒成立，即a•2^-x-2^x=-（a•2^x-2^-x）．
即（a-1）（2^-x+2^x）=0，
∴a=1；                                   …（4分）
（2）f（x）為R上的增函數(shù)．下面證明：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{-{x}_{1}}$-（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{2}}$）
=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$）
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）為R上的增函數(shù)．…（8分）
（3）∵不等式f（9^x+1）+f（t-2•3^x+5）＞0在R上恒成立
∴f（9^x+1）＞-f（t-2•3^x+5）=f[-（t-2•3^x+5）]=f（-t+2•3^x-5），
∵f（x）為R上的增函數(shù)
∴9^x+1＞-t+2•3^x-5，t＞-9^x+2•3^x-6，即t＞-（3^x-1）²-5
當3^x-1=0，即x=0時，-（3^x-1）²-5有最大值-5，
所以t＞-5…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，單調(diào)性的證明和恒成立問題的轉(zhuǎn)化，奇偶性的應(yīng)用，屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．