設0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1．求證：x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1.

答案：略
解析：

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)，

整理得

f(x)=(1－y－z)x＋y＋z－yz(0＜x＜1)．

∵0＜y＜1，0＜z＜1，

∴－1＜1－y－z＜1．

(1)當0＜1－y－z＜1時，f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，于是f(x)＜f(1)=1－yz＜1；

(2)當－1＜1－y－z＜0時，f(x)在(0，1)上是減函數(shù)，于是f(x)＜f(0)=y＋z－yz=1－(1－y)(1－z)＜1；

(3)當1－y－z=0時，即y＋z=1時，f(x)=y＋z－yz=1－yz＜1．

綜上，原不等式成立．


提示：

分析：構(gòu)造一次函數(shù)解答本題．


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