已知函數(shù)f（x）滿足：f（1）=
1
4
，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），則f（2010）=（　　）
分析：分析：由于題目問的是f（2010），項(xiàng)數(shù)較大，故馬上判斷函數(shù)勢(shì)必是周期函數(shù)，所以集中精力找周期即可；周期的尋找方法可以是不完全歸納推理出，也可以是演繹推理得出．
解答：解法一：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
取x=1，y=0得f（0）=
1
2

根據(jù)已知知f（1）=
1
4

取x=1，y=1得f（2）=-
1
4

取x=2，y=1得f（3）=-
1
2

取x=2，y=2得f（4）=-
1
4

取x=3，y=2得f（5）=-
1
4

取x=3，y=3得f（6）=
1
2
…
猜想得周期為6
∴f（2010）=f（0）=
1
2

解法二：取x=1，y=0得f（0）=
1
2

取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
聯(lián)立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=6，
故f（2010）=f（0）=
1
2

故選A
點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確找出周期是此類問題（項(xiàng)數(shù)很大）的關(guān)鍵，分別可以用歸納法和演繹法得出周期，解題時(shí)根據(jù)自己熟悉的方法得出即可．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*時(shí)，求f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x） 滿足f（x+4）=x3+2，則f-1（1）等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函數(shù)g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）當(dāng)x≥0時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時(shí)恒成立，求t的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并作出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•珠海二模）已知函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=f（x-1）；當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=2x，則f（log27）=（　　）

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