Question

已知函數(shù)f（x）=

x3

2x-1

，
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）求證：f（x）＞0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的定義域的求法，即可求f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系即可證明f（x）＞0．

解答： 解：（1）由2^x-1≠0，即2^x≠1，得x≠0，
所以函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）因為f（1）=1，f（-1）=2，所以f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），所以f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（3）由于函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
因為當x＞0時，2^x＞1，2^x-1＞0，x³＞0，所以f（x）＞0；
當x＜0時，0＜2^x＜1，2^x-1＜0，x³＜0，所以f（x）＞0．
綜上知f（x）＞0．本題得證．

點評：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的考查，要求熟練掌握函數(shù)的奇偶性，定義域和單調(diào)性的應(yīng)用．