Question

函數f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）上以點P（1，f（1））為切點的切線方程為y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2時有極值，求f （x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求導數，利用導數幾何意義結合切線方程及函數f（x）在x=-2時有極值即可列出關于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，從而得到f （x）的表達式．
（2）先求函數的導數f'（x），通過f'（x）＞0，及f'（x）＜0，得出函數的單調性，進一步得出函數的極值即可．
解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求導數得f'（x）=3x²+2ax+b
過y=f（x）上點P（1，f（1））的切線方程為：y-f（1）=f'（1）（x-1）即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）
故即
∵有y=f（x）在x=-2時有極值，故f′（-2）=0
∴-4a+b=-12…（3）
由（1）（2）（3）相聯(lián)立解得a=2，b=-4，c=5
f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）
f（x）_極大=f（-2）=（-2）³+2（-2）²-4（-2）+5=13f（1）=1³+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值為13．
點評：本題主要考查了利用導數求閉區(qū)間上函數的最值、利用導數研究函數的單調性等基本知識，考查計算能力，屬于基礎題．