Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）在[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3ax²+2bx-3，

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，由此能求出a，b．
（2）由（1）得f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)y=f（x）在[0，2]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-3x，
∴f′（x）=3ax²+2bx-3，
∵f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值，
∴f′（1）=f′（-1）=0，

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，解得a=1，b=0．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
由f′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍），
∵x∈（0，1）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∵f（0）=0，f（2）=2，f（1）=-2．
∴最大值為2，最小值為-2．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．