Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，M為PC的中點
（Ⅰ）證明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PD=

1

2

AD，求二面角D-BM-P的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理，先證明BD⊥底面PDC，然后利用線面垂直的性質證明：BD⊥PC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的大小．

解答： （Ⅰ）證明：由余弦定理得BD=

1+4-2•1•2• 1 2

=

3

，
∴BD²+AB²=AD²，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，
∵AB∥CD，∴BD⊥DC，
∵PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥PD，
又PD∩DC=D，
∴BD⊥底面PDC，
又PC?面PDC，
∴BD⊥PC；
（Ⅱ）解：已知AB=1，AD=CD=2，PD=

3

，由（Ⅰ）知BD⊥底面PDC，
以D為坐標原點，DB為x軸，建立空間直角坐標系D-xyz，如圖：
則D（0，0，0），B（

3

，0，0），P（0，0，

2

），M（0，1，

2

2

），
則

DB

=（

3

，0，0），

DM

=（0，1，

2

2

），

CP

=（0，-2，

2

），

CB

=（

3

，-2，0），
設平面BDM的法向量為

m

=（x，y，z），則

x=0 y+ 2 2 z=0

令z=

2

，則y=-2，可取

m

=（0，-1，

2

），
同理設平面BMP的法向量為

n

=（

2 3

3

，1，

2

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

13

13

，
∴求二面角D-BM-P的余弦值為

13

13

．

點評：本題主要考查線面垂直的性質，以及空間二面角的大小，利用向量法解決空間角的關鍵是求出平面的法向量．