Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx．若y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）對(duì)x∈[-1，1]都有f′（x）≤2，則

b

a-1

的范圍（　　）

• A、（-2，1]
• B、（-∞，-2）∪[1，+∞）
• C、（

  1

  2

  ，1]
• D、[-2，

  1

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)x∈[-1，1]都有f′（x）≤2得到f′（1）和f′（-1）都小于等于2，聯(lián)立構(gòu)成不等式組，在平面直角坐標(biāo)系中畫出組成的區(qū)域如圖陰影部分，設(shè)z等于

b

a-1

，則z表示陰影部分中任意一點(diǎn)（a，b）與（1，0）連線的斜率，根據(jù)圖形可得出z的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax+b
由

f′(-1)=3-2a+b≤2 f′(1)=3+2a+b≤2

 得

2a-b-1≥0 2a+b+1≤0

不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：
由

2a-b-1=0 2a+b=1=0

得

a=0 b=-1

，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1）．
設(shè)z=

b

a-1

，則z表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)P（1，0）連線的斜率．
∵K_PQ=1，由圖可知z≥1或z＜-2，
即 z=

b

a-1

∈（-∞，-2）∪（1，+∞）
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握函數(shù)取極值時(shí)所滿足的條件，以及會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．